(6) Charts and Projections

(6) Charts and Projections

 

항공 차트를 제작하는데 사용되는 다양한 투영법에 대해 논의하기 전에 먼저 차트 및 투영법과 관련된 몇 가지 기본 용어와 개념을 숙지해야 한다.

 

1. 지도나 차트는 지구의 표면이나 그 일부를 평면에 축소하여 표현한 것이다.

 

2. 지도 투영법은 차트를 만드는 기본 구조를 형성하며 완성된 차트의 근본적인 성질을 결정한다.

 

3. 구체 표면의 일부를 평면에 나타날 때 해결해야 할 여러 어려움이 있다. 그중 두 가지로 왜곡과 원근이 있다.

 

a. 비록 차트를 그릴 때 왜곡을 완전히 피할 수는 없지만 이를 어느 정도 제어하고 체계화할 수는 있다. 특정 목적을 위해 차트를 그릴 때 해당 목적에 가장 좋지 못한 유형의 왜곡을 최소화하는 방식으로 차트를 그릴 수 있다. 늘이거나 찢지 않고도 평면에 펼쳐질 수 있는 표면(예를 들어 원뿔이나 원통)을 전개 가능 곡면(developable surface)이라 부르는 반면 왜곡 없이는 평면에 펼쳐질 수 없는 표면(예를 들어 구체나 회전 타원체)을 전개 불가능 곡면(non-developable surface)이라 부른다. [그림 1-19] 지도 투영법을 만드는데 있어 문제는 자오선과 위도선을 지도에 옮기되 필요한 특성이 최대한 유지되도록 하는 방법을 개발하는데 있다. 투영법은 수학적 투영법과 원근 투영법으로 구분된다.

b. 원근 투영법(기하학적 투영법)은 지구-구체를 기준으로 하는 좌표계를 특정한 한 점으로부터 전개 가능 곡면 위에 투영하는 방법이다. 만들어진 지도의 성질과 모습은 두 가지 요인에 의해 달라진다: 전개 가능 곡면의 유형, 그리고 투영이 이루어진 위치.

 

4. 수학적 투영법은 기하학적 투영법으로 도출될 수 없는 특정 성질이나 특징을 제공하기 위해 수학적으로 도출되는 방법이다. 이러한 성질 및 특징을 가장 잘 만족시키는 투영법을 선택할 때 고려할 수 있는 몇 가지 선택지들을 살펴보자.

 

Choice of Projection

 

이상적인 지도 투영법은 지구상의 모든 특징들이 서로에 대해 정확한 관계를 유지하도록 특징들을 표현해야 한다. 즉, 지도 전체에 걸쳐 거리가 일정한 축척으로 표현되어야 하고 방향이 정확해야 한다. 이렇게 되면 지도 전체에서 면적과 형태가 정확하게 표시될 것이다. 허나 이러한 관계는 지구본에서만 이루어질 수 있다. 평면 지도의 경우 모든 지점에서 모든 방향에 걸쳐 일정한 축척과 정확한 방향을 유지하는 것이 불가능하며 지형적 특징들의 상대적 면적과 형태를 지도 전체에 걸쳐서 정확하게 묘사하는 것도 불가능하다. 지도 투영법에서 일반적으로 가장 바람직하게 여기는 특징들에는 정각성, 일정한 축척, 직선으로 표현된 대권, 직선으로 표현된 항정선, 진방위각, 그리고 쉽게 찾을 수 있는 지리적 위치가 있다.

 

Conformality

 

공중 항법 차트에서는 정각성(conformality)이 매우 중요하다. 투영법이 정각성을 가지기 위해선 어떤 지점에서의 축척이 방위각에 따라 달라져서는 안 된다. 이는 위도가 다른 두 지점에서의 축척이 같다는 의미가 아니다. 이는 어떤 지점에서 짧은 거리 내에서는 모든 방향으로 축척이 갖다는 의미이다. 정각성을 위해선 지도에 그려진 지역들의 윤곽선이 실제 지역의 형태와 일치해야 한다. 이러한 조건은 작은 지역에서만 적용될 수 있다. 넓은 대륙에서는 투영법에 내재된 왜곡이 필연적으로 반영된다. 마지막으로 지구의 자오선과 위도선은 직각으로 교차하므로 모든 정각도법(conformal projection)에서 위도선과 경도선은 반드시 직각으로 교차해야 한다. 이러한 특징은 어떤 지점을 지리적 좌표로 표시하는데 편리함을 제공한다.

 

Constant Scale

 

전체 차트에서 일정한 축척을 유지하는 특성은 매우 바람직하다. 허나 전체 차트에서 일정한 축척을 유지하기 위해선 모든 지점과 모든 방향에서 동일한 축척이 유지되어야 하므로 이는 불가능하다.

 

Straight Line

 

항정선(rhumb line)과 대권(great circle)은 항법사가 지도상에서 직선으로 표시되길 바라는 두 곡선이다. 모든 항정선을 직선으로 나타내는 유일한 투영법은 메르카토르 도법(Mercator projection)이다. 모든 대권을 직선으로 나타내는 유일한 투영법은 심사도법(gnomonic projection)이다. 허나 이는 정각도법이 아니므로 방향이나 거리를 직접 구하는데 사용될 수 없다. 모든 대권을 직선으로 나타내는 정각도법 차트는 존재하지 않는다.

 

True Azimuth

 

지도 전체에 걸쳐 진방향(true direction)이나 진방위각(true azimuth)을 나타내는 투영법은 매우 바람직할 것이다. 이는 항법사에게 있어 특히나 더 중요한데 왜냐하면 항법사는 비행할 기수방위를 차트에서 결정하기 때문이다. 모든 지점으로부터 다른 모든 지점으로 향하는 대권항로의 진방향을 직선으로 표시해주는 지도 투영법은 존재하지 않는다.

 

Coordinates Easy to Locate

 

어떤 장소의 지리적 위도와 경도를 알고 있다면 지도상에서 해당 장소의 위도와 경도를 쉽게 찾거나 표시할 수 있어야 한다.

 

Chart Projections

 

차트 투영법은 여러 방식으로 분류될 수 있다. 이 교재에서는 투영법과 관련된 전개 가능 곡면의 유형에 따라 투영법들이 세 가지 범주로 구분된다. 이 범주에는 방위도법, 원통도법, 그리고 원추도법이 있다.

 

Azimuthal Projections

 

방위도법(azimuthal projection)이나 천정도법(zenithal projection)이란 지구상의 점들을 지구에 접한 평면 위로 직접 옮기는 투영법을 말한다. 평면의 위치와 투영 지점(point of projection)의 위치에 따라 서로 다른 기하학적 투영법이 만들어진다. 만약 투영 지점이 지구의 중심에 있다면 해당 투영법은 심사도법(gnomonic projection)이 된다. 만약 평면이 접한 지점의 정반대편에 투영 지점이 있다면 해당 투영법은 평사도법(stereographic projection)이 된다. 만약 투영 지점이 무한히 멀리 떨어져 있다면 해당 투영법은 정사도법(orthographic projection)이 된다. 그림 1-20은 이러한 여러 투영 지점들의 위치를 보여준다.

(심사도법. 출처: Wikipedia)

(평사도법. 출처: Wikipedia)

(정사도법. 출처: Wikipedia)

Gnomonic Projection

 

모든 심사도법은 직접 원근 투영법(direct perspective projection)이다. 대권의 면은 모두 지구의 중심을 통과하므로 투영 지점은 모든 대권의 면 안에 존재한다. 이 성질이 바로 심사도법의 가장 중요하고 유용한 특징이 된다. 이 투영법에서 모든 대권은 직선으로 나타난다. 지도 중심으로부터 90° 떨어진 지점들은 투영 평면(plane of projection)에 평행한 선으로 그려지기 때문에 평면에 완전한 반구가 투영될 수는 없다. 심사도법은 정각성을 가지지 않기 때문에 형태나 지형이 왜곡되며 측정되는 각도들도 실제와 다르다. 오직 한 점(투영 중심)에서만 선들의 방위각이 실제와 동일하다. 이 지점에서는 심사도법이 진방위각의 성질을 가진다고 말할 수 있다. 심사도법은 투영 평면이 지구와 접하는 지점(point of tangency)에 따라 분류된다. 투영 평면이 양 극 중 하나와 접하는 경우에는 정축 심사도법(polar gnomonic projection)이 되고 투영 평면이 적도와 특정 자오선에 접하는 경우에는 횡축 심사도법(equatorial gnomonic projection)이 된다. [그림 1-21]

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※ 다음은 공중항법 교재를 발췌한 내용이다.

 

(가) 정축심사 평면투영법(polar gnomonic planar projection)

1. 투영면이 양극에 접하는 심사투영법으로 차트의 중심이 극이 된다.

2. 자오선은 중심으로부터 방사직선이 된다.

3. 위선은 극을 중심으로 하는 동심원이지만 중심으로부터 멀어짐에 따라 동심원의 간격이 급격히 증가한다.

4. 위선과 각 자오선은 직각으로 교차하고 있지만 위선과 자오선 간의 척도는 달라진다. 즉 동서남북의 비례관계가 다르다.

5. 적도를 투영하는 것은 불가능하며, 실용범위는 극으로부터 50°N 또는 50°S 까지이다.

 

(나) 횡축심사 평면투영법(equatorial gnomonic planar projection)

투영면이 적도상의 한 점에 접하는 심사투영법이다. 자오선은 간격이 다른 평행직선이 되고 위선은 적도를 축으로 하는 쌍곡선이 된다.

 

(다) 사축심사 평면투영법(oblique gnomonic planar projection)

투영면이 양극과 적도를 제외한 임의의 한 점에 접하는 심사투영법이다. 자오선은 극으로부터의 방사직선이 되고 위선은 적도에 대하여 곡선이 된다.

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Stereographic Projection

 

평사도법은 구체를 투영해서 그리는 정각도법이다. 투영 중심이 지리적 극이나 적도 이외의 임의의 지점인 평사도법을 사축 평사도법(oblique stereographic projection)이라 부른다. 투영 중심이 양 극 중 하나와 일치하는 평사도법은 극 평사도법(polar stereographic)이라 부른다. 그림 1-21은 심사도법과 평사도법을 모두 보여준다. 투영 중심이 적도 위에 있다면 평면에 투영된 원이 자오선이 되며 이를 적도 평사도법(equatorial stereographic)이나 자오선 평사도법(meridian stereographic)이라 부른다.

 

Cylindrical Projections

 

항법에 사용되는 유일한 원통도법은 메르카토르 도법(Mercator projection)으로 이는 1569년에 이 유형의 차트를 최초로 고안한 Gerhard Mercator (Kramer)의 이름을 딴 것이다. 메르카토르 도법은 정각성을 유지하고 항정선을 직선으로 나타내는 유일한 투영법이다. 메르카토르 도법은 항법, 거의 모든 지도책(atlas. 이 단어도 메르카토르가 처음 만든 말이다), 그리고 많은 벽지도에 사용된다.

 

투영 지점이 지구의 중심에 있으며 적도에 접하는 원통을 상상해보자. 이는 그림 1-22와 매우 유사하게 보일 것이며 원통 주위에서 자오선은 직선으로 나타나고 위도선은 불규칙한 간격으로 나타날 것이다. 그림 1-22에서 알 수 있듯이 극 근처의 지표면은 원통이 엄청나게 길지 않은 한 투영될 수 없으며 극 자체는 전혀 투영될 수 없다.

(출처: Wikipedia)

지구상에서 위도선들은 자오선에 수직으로 교차하며 위도가 높아질수록 점점 지름이 작은 원을 이룬다. 원통에서 위도선들은 자오선에 수직으로 표시되지만 원통의 지름은 종축을 따라 어느 지점에서나 동일하기 때문에 위도선들은 모두 동일한 길이를 가진다. 만약 수직선(자오선)을 따라 원통을 자르고 이를 평평하게 펼치면 자오선들이 동일한 간격의 수직선들로 표시되고 위도선들은 수평선들로 표시되는데 이때 수평선들 사이의 간격은 임의의 자오선으로부터 멀어질수록 증가한다.

 

원통이 적도 이외의 대권에 접해서 다른 유형의 원통 투영법이 형성될 수도 있다. 만약 원통이 자오선에 접하면 이를 횡축 원통 투영법(transverse cylindrical projection)이라 부르고 만약 원통이 적도나 자오선 이외의 지점에 접하면 이를 사면 원통 투영법(oblique cylindrical projection)이라 부른다. 이러한 투영법들에서는 접선과 적도가 일치하지 않기 때문에 위도와 경도의 패턴이 상당히 다르게 나타난다.

 

Mercator Projection

 

메르카토르 도법은 정각성을 지닌 비-원근 투영법으로 이는 수학적 변환을 통해 구성되며 기하학적 수단을 통해 직접 얻을 수는 없다. 원통 투영법들 중 메르카토르 도법의 특징은 다음과 같다: 어떤 위도에서든 자오선과 위도선이 확대되는 비율이 동일하며 이로 인해 지구에서의 형태 관계가 지도에서도 유지된다. 이 확대 비율은 위도의 시컨트(sec) 함수와 같으며 지구가 타원체이기 때문에 약간의 보정이 적용된다. 모든 방향에서 확대 비율이 동일하며 모든 방향 및 각도가 실제와 동일하게 표현되기 때문에 이 투영법은 정각성을 지닌다.

 

항정선은 직선으로 나타나며 그 방향을 차트에서 직접 측정할 수 있다. 차트에서 거리 또한 직접 측정할 수는 있으나 전체 지도에 걸쳐서 하나의 축척만을 사용해서는 안 된다(단, 위도 차이가 작은 경우는 제외). 대권은 곡선으로 나타나며 적도를 향하여 오목하게 표시되거나 가까운 극을 향하여 볼록하게 표시된다. 작은 지역들의 형태는 거의 정확하게 표현되지만 적도 부근이 아니라면 실제보다 더 큰 면적으로 보인다. [그림 1-23] 메르카토르 도법은 다음과 같은 단점을 가진다:

1. 긴 거리를 정확하게 측정하는 것은 어렵다.

2. 지도에 대권을 작도(plotting)하기 전에 방위(bearing)에 변환 각도를 적용해야 한다.

3. 양 극을 표시할 수 없기 때문에 북위 80도 너머와 남위 80도 미만에서는 쓸모가 없다.

 

횡축 메르카토르 도법(transverse Mercator. inverse Mercator라고도 불림)은 적도 메르카토르 도법(equatorial Mercator)으로 커버되지 않는 지역을 위해 고안된 정각 차트(conformal map)이다. 횡축 메르카토르 도법에서는 자오선과 위도선이 직선인 특성이 사라지는 대신 복잡한 곡선을 이루며 항정선은 더 이상 직선으로 표현되지 않는다. 지리적 기준에서 보았을 때 횡축 메르카토르 도법은 작도를 위한 차트로 사용하기엔 어려움이 있다. 횡축 메르카토르 도법은 종종 원통에 투영된 도법과 유사하다 여겨지지만 실제로는 수학적으로 구성된 비-원근 투영법이다. 허나 이러한 유사성 덕분에 횡축 메르카토르 도법이 중앙 자오선(central meridian. 원통과 접해서 대권을 형성하는 자오선)을 따라 정확한 축척을 보여준다는 사실을 시각화할 수 있게 해준다. [그림 1-24] 즉, 일반적인 메르카토르 도법에서 사용되었던 원통이 90° 회전되었으며 중앙 자오선이라 불리는 자오선이 원통에 접하는 대권이 된다. 이러한 투영법을 사용하는 NGA 차트 시리즈 중 하나는 원통이 동경 90° - 서경 90°에 접하도록 배치된다.

(출처: Wikipedia)

이 투영법은 우리에게 익숙한 자오선 및 위도선의 경위선망과 유사한, 허나 위치가 달라진 가상의 경위선망(fictitious graticule)을 사용한다. 지구와 원통이 접하는 대권은 가상의 적도(fictitious equator)가 된다. 이 가상의 적도로부터 90도 떨어진 곳에 가상의 극(fictitious pole)들이 존재한다. 이 가상의 극들을 통과하며 가상의 적도에 수직으로 교차하는 여러 개의 대권들이 가상의 자오선(fictitious meridian)들을 구성한다. 그리고 가상의 적도 평면에 평행한 일련의 선들은 가상의 위도선(fictitious parallel)들을 구성한다.

 

횡축 메르카토르 도법에서 가상의 경위선망은 적도 메르카토르 도법에서 보이는 일반적인 경위선망처럼 나타난다. 즉, 가상의 자오선과 가상의 위도선은 서로 수직인 직선으로 나타난다. 허나 실제 자오선과 위도선은 곡선이다(단, 원통에 접한 선 제외). 지리적 좌표는 보통 일반적인 경위선망을 기준으로 표시된다. 횡축 메르카토르 도법에서 직선은 모든 가상의 자오선과 동일한 각도를 이루지만 실제 자오선과는 그렇지 않다. 따라서 이 직선은 가상의 항정선(fictitious rhumb line)이다.

 

동경 90° - 서경 90°를 가상의 적도로 사용한 횡축 메르카토르 도법이 그림 1-24에 나타나 있다. 점선은 가상의 경위선망이다. 중앙을 통과하는 남-북 자오선이 가상의 적도가 된다. 남은 실제 자오선들은 남-북 자오선을 향해 오목하게 휘어진 곡선으로 나타나며 실제 위도선들은 가까운 극을 향해 오목하게 휘어진 곡선으로 나타난다. 이 자오선들을 직선으로 만들기 위해서는 그림 1-25의 그래프를 통해 경도를 직선으로 만드는 수학적 보정 계수를 구해야 한다.

Conic Projections

 

원추도법에는 두 가지 유형이 있다. 첫 번째는 단원추도법(simple conic projection)으로 원뿔의 꼭대기를 지구의 일부 지점(보통 극 지점) 위에 놓되 원뿔이 표준 위도선(standard parallel)이라 불리는 위도선에 접하도록 배치한 후 축소된 지구의 경위선망을 원뿔에 투영하도록 구성된다. [그림 1-26] 이 원뿔을 어느 자오선을 따라 자른 후 평평하게 펼치면 차트가 된다. 그림 1-27에서 볼 수 있듯이 원뿔을 펼치면 특유의 틈이 발생한다. 두 번째는 secant cone으로 이 원뿔은 지구를 관통해서 실제로 두 개의 표준 위도선과 만난다. [그림 1-28]

Lambert Conformal(Secant Cone)

 

람베르트의 정각원추도법은 원추도법의 일종으로 자오선은 직선을 이루며 차트의 범위 바깥에 놓인 한 점에서 만나게 되고 위도선은 동심원으로 이 동심원의 중심에서 자오선들이 교차하게 된다. 자오선과 위도선은 서로 직각으로 교차한다. 지구 표면에서 두 개의 선이나 곡선에 의해 만들어지는 각도는 차트에서도 정확하게 유지된다. 이 투영법은 기하학적 수단이나 수학적 수단을 통해 구성될 수 있다. 이 도법은 secant cone을 사용하는데 이 원뿔은 해당 도법이 차트에 표현하고자 하는 범위 내에 존재하는 두 개의 표준 위도선을 교차한다. 표준 위도선들은 차트에 정확한 축척으로 표현된다. 이 위도선들 사이에서는 축척이 1보다 작고 이 위도선들 너머에서는 축척이 1보다 커진다. 표준 위도선 사이와 너머에서의 축척 오차가 균등하게 분포되도록 만들기 위해 표준 위도선들은 차트에 표현되는 중앙 자오선 구간 길의 1/6 지점과 5/6 지점에 배치된다. 람베르트 정각원추도법이 구성되는 과정이 그림 1-29에 나타나 있다.

(출처: Wikipedia)

람베르트 정각원추도법의 주요 용도는 위도 폭이 좁지만 경도 폭은 넓은 지역을 지도로 만드는데 있다. 어떤 투영법도 정각성을 가지면서 등적(equal area)일 수 없다. 허나 위도 폭을 제한하면 이 투영법에 내재된 정각성 특성에 더해 차트에 지역들이 거의 등적으로 표현될 정도로 축척 오차가 줄어들 수 있다. 이러한 이유로 람베르트 정각원추도법은 항공 차트에 매우 유용하다. 람베르트 정각원추도법의 몇 가지 장점은 다음과 같다:

 

1. 정각성.

2. 대권이 거의 직선으로 나타난다(정확히는 중간 위도선을 향하여 오목한 곡선으로 나타난다).

3. 위도 폭이 작은 지역에서는 축척이 거의 일정하다. 예를 들어 북위 33도와 북위 45도를 표준 위도선으로 하여 미국을 지도로 만들었을 때 남부 플로리다에서의 축척 오차가 겨우 2%에 불과할 수 있다. 북위 30°30'와 북위 47°30' 사이에서의 최대 축척 오차는 0.5%에 불과하다.

4. 위도와 경도를 기준으로 위치를 쉽게 표시하고 읽을 수 있다. 지도 제작이 비교적 간단하다.

5. 두 개의 표준 위도선을 따라 존재하는 모든 요소들은 지도상에서 그 형태와 축척이 실제와 똑같이 표현된다.

6. 거리가 꽤나 정확하게 측정될 수 있다. 예를 들어 피츠버그에서 이스탄불까지의 거리는 5,277NM이다. 람베르트 지도(표준 위도선은 북위 36도와 북위 54도)에서 축척 계수(scale factor)를 적용하지 않고 도표 축척(graphic scale)으로 측정한 거리는 5,258NM로 오차가 0.4% 미만이다.

 

람베르트 정각원추도법의 주요 한계점은 다음과 같다:

 

1. 항정선이 곡선으로 표시되어서 차트에 정확히 작도될 수 없다.

2. 위도 폭이 커질수록 축척의 최댓값이 커진다.

3. 위도선들이 곡선으로(동심원의 호로) 표현된다.

4. 두 개의 지도가 만나는 지점에서는 정각성이 사라진다(설령 각 지도가 정각성을 가지고 있다 하더라도). 만약 두 개의 지도가 각각의 표준 위도선을 따라 동일한 축척을 사용한다면 각 지도에 대한 공통 위도선(두 지도가 만나는 위도선)의 반지름이 달라져서 완벽하게 맞물리지 않는다.

 

Constant of the Cone

 

대부분의 원추도법 차트에는 원추의 상수(constant of the cone. convergence factor[수렴 인자]라고도 불림)가 계산되며 이 값이 지도의 여백 어딘가에 표기되어 있다.

 

Convergence Angle(CA)

 

수렴 각도(convergence angle)란 차트 상에서 그리니치 자오선과 다른 자오선이 교차하여 형성되는 실제 각도로 극이 이 각도의 꼭짓점 역할을 한다. 경도와 마찬가지로 수렴 각도 또한 그리니치 자오선으로부터 동쪽과 서쪽으로 측정된다.

 

Convergence Factor(CF)

 

차트의 수렴 인자란 실제 지구상에 존재하는 자오선들이 수렴하는 정도와 차트에 표시된 자오선들이 수렴하는 정도의 비율을 나타내는 소수이다. CA가 특정 자오선의 값과 동일하면 차트의 CF는 1.0이다. CA가 특정 자오선의 값보다 작으면 차트의 CF는 비례적으로 작아진다. 그림 1-30에 그려진 아극(subpolar) 투영도는 북위 37도와 북위 65도의 표준 위도선을 보여준다. 이 투영도는 360°의 지구 표면을 282.726°의 종이 위에 표현한다. 따라서 이 차트는 0.78535(282.726°를 360°도로 나눈 값)의 CF를 가진다. 서경 90° 자오선은 그리니치 자오선과 71°의 CA를 형성한다.

이를 식으로 표현하면 다음과 같다:

 

CF × longitude = CA

0.78535 × 90° W = 71° west CA

 

아극 차트의 CF를 어림잡기 위해선 먼저 10개의 경도선을 지나는 직선을 긋고, 해당 직선의 양 끝 지점에서 진항로(true course)를 측정한 뒤, 두 진항로의 차이를 구하고 그 값을 10으로 나누면 된다. NOTE: 이 나눗셈의 결과 값이 차트의 CF를 나타낸다.